BLOQUE 3

martes, 11 de febrero de 2014

TEOREMA DE TALES

Existen dos teoremas en relación a la geometria clasica que reciben el nombre de teorema de Tales, ambos atribuidos al matemático griego tales de mileto en el siglo VI a. C.

LOS DOS TEOREMAS DE TALES

El primero de ellos explica esencialmente una forma de construir un triangulo semejante a uno previamente existente ("los triángulos semejantes son los que tienen iguales ángulos y sus lados homólogos proporcionales"). Mientras que el segundo desentraña una propiedad esencial de los circuncentros de todos los triángulos rectángulos ("encontrándose éstos en el punto medio de su hipotenusa"), que a su vez en la construcción geométrica es ampliamente utilizado para imponer condiciones de construcción de ángulos rectos. Si tres o más rectas paralelas son intersecadas cada una por dos transversales, los segmentos de las transversales determinados por las paralelas, son proporcionales.

PRIMER TEOREMA

Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre sí. El primer teorema de Tales recoge uno de los resultados más básicos de la geometría, al saber, que:

Teorema primero

Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene un triángulo que es semejante al triángulo dado.

Tales de Mileto

Según parece, Tales descubrió el teorema mientras investigaba la condición de paralelismo entre dos rectas. De hecho, el primer teorema de Tales puede enunciarse como que la igualdad de los cocientes de los lados de dos triángulos no es condición suficiente de paralelismo. Sin embargo, la principal aplicación del teorema, y la razón de su fama, se deriva del establecimiento de la condición de semejanza de triángulos, a raíz de la cual se obtiene el siguiente corolario.

COROLARIO

Del establecimiento de la existencia de una relación de semejanza entre ambos triángulos se deduce la necesaria proporcionalidad entre sus lados. Ello significa que la razón entre la longitud de dos de ellos en un triángulo se mantiene constante en el otro.

Por ejemplo, en la figura se observan dos triángulos que, en virtud del teorema de Tales, son semejantes. Entonces, del mismo se deduce a modo de corolario que el cociente entre los lados A y B del triángulo pequeño es el mismo que el cociente entre los lados D y C en el triángulo grande. Esto es, que como por el teorema de Tales ambos triángulos son semejantes, se cumple que:

${\frac {A}{B}}={\frac {D}{C}}\,$

Este corolario es la base de la geometría descriptiva. Su utilidad es evidente; según herodoto, el propio Tales empleó el corolario de su teorema para medir la altura de la piramide de keops en egipto. En cualquier caso, el teorema demuestra la semejanza entre dos triángulos, no la constancia del cociente.

Del primer teorema de Tales se deduce además lo siguiente (realmente es otra variante de dicho teorema, y, a su vez, consecuencia del mismo): Si las rectas A, B, C son paralelas y cortan a otras dos rectas R y S, entonces los segmentos que determinan en ellas son proporcionales.

SEGUNDO TEOREMA

El segundo teorema de Tales de Mileto es un teorema de geometría particularmente enfocado a los triángulos rectángulos, lascircunferencias y los ángulosscritos, consiste en el siguiente enunciado:

Teorema segundo

Sea B un punto de la circunferencia de diámetro AC, distinto de A y de C. Entonces el triángulo ABC, es un triángulo rectángulo.

Tales de Mileto

TEOREMA DE PITAGORAS

El teorema de Pitágoras establece que en todo triangulo rectangulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).

Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes $a\,$ y $b\,$ , y la medida de la hipotenusa es $c\,$ , se establece que:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}\,$

De la ecuacion (1) se deducen fácilmente 3 corolarios de aplicación práctica:

$a={\sqrt {c^{2}-b^{2}}}$

$b={\sqrt {c^{2}-a^{2}}}$

$c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

Demostraciones supuestas de Pitágoras

Sea el triángulo ABC, rectángulo en C. El segmento CH es la altura relativa a la hipotenusa, en la que determina los segmentos a’ y b’, proyecciones en ella de los catetos a y b, respectivamente.Se estima que se demostró el teorema mediante semejanza de triángulos: sus lados homólogos son proporcionales.¹

Los triángulos rectángulos ABC, AHC y BHC tienen sus tres bases iguales: todos tienen dos bases en común, y los ángulos agudos son iguales bien por ser comunes, bien por tener sus lados perpendiculares. En consecuencia dichos triángulos son semejantes.

De la semejanza entre ABC y AHC:

y dos triángulos son semejantes si hay dos o más ángulos congruentes.

${\frac {b}{b'}}={\frac {c}{b}}$

$b^{2}\ =\ b'c$

De la semejanza entre ABC y BHC:

${\frac {a}{a'}}={\frac {c}{a}}$

$a^{2}\ =\ a'c$

Los resultados obtenidos son el teorema del cateto. Sumando:

$a^{2}\ +\ b^{2}=a'c\ +\ b'c\ =\ c\left(a'+b'\right)$

Pero $\left(a'+b'\right)=\ c$ , por lo que finalmente resulta:

$a^{2}\ +\ b^{2}=c^{2}$

Los triángulos PQR y PST son semejantes, de manera que:Pitágoras también pudo haber demostrado el teorema basándose en la relación entre las superficies de figuras semejantes.

${\frac {r}{u}}={\frac {s}{v}}=r$

siendo r la razón de semejanza entre dichos triángulos. Si ahora buscamos la relación entre sus superficies:

$S_{{PQR}}\ =\ {\frac {1}{2}}\left(rs\right)$

$S_{{PST}}\ =\ {\frac {1}{2}}\left(uv\right)$

obtenemos después de simplificar que:

${\frac {S_{{PQR}}}{S_{{PST}}}}={\frac {rs}{uv}}={\frac {r}{u}}\cdot {\frac {s}{v}}$

pero siendo ${\frac {r}{u}}={\frac {s}{v}}=r$ la razón de semejanza, está claro que:

${\frac {S_{{PQR}}}{S_{{PST}}}}=\left({\frac {r}{u}}\right)^{2}=\left({\frac {s}{v}}\right)^{2}$

Es decir, "la relación entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza".

Aplicando ese principio a los triángulos rectángulos semejantes ACH y BCH tenemos que:

${\frac {S_{{ACH}}}{S_{{BCH}}}}=\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}$

que de acuerdo con las propiedades de las proporciones nos da:

${\frac {S_{{ACH}}}{b^{2}}}={\frac {S_{{BCH}}}{a^{2}}}={\frac {S_{{ACH}}+S_{{BCH}}}{b^{2}+a^{2}}}$ (I)

y por la semejanza entre los triángulos ACH y ABC resulta que:

${\frac {S_{{ACH}}}{S_{{ABC}}}}=\left({\frac {b}{c}}\right)^{2}$

${\frac {S_{{ACH}}}{b^{2}}}={\frac {S_{{ABC}}}{c^{2}}}$

pero según (I) ${\frac {S_{{ACH}}}{b^{2}}}={\frac {S_{{ACH}}+S_{{BCH}}}{b^{2}+a^{2}}}$ , así que:

${\frac {S_{{ACH}}+S_{{BCH}}}{b^{2}+a^{2}}}={\frac {S_{{ABC}}}{c^{2}}}$

y por lo tanto:

$b^{2}\ +\ a^{2}\ =\ c^{2}$

quedando demostrado el teorema de Pitágoras.

Partiendo de la configuración inicial, con el triángulo rectángulo de lados a, b, c, y los cuadrados correspondientes a catetos e hipotenusa –izquierda-, se construyen dos cuadrados diferentes:Es asimismo posible que Pitágoras hubiera obtenido una demostración gráfica del teorema.

Uno de ellos –centro- está formado por los cuadrados de los catetos, más cuatro triángulos rectángulos iguales al triángulo inicial.
El otro cuadrado –derecha- lo conforman los mismos cuatro triángulos, y el cuadrado de la hipotenusa.

Si a cada uno de estos cuadrados les quitamos los triángulos, evidentemente el área del cuadrado gris ( $c^{2}$ ) equivale a la de los cuadrados amarillo y azul ( $b^{2}+a^{2}$ ), habiéndose demostrado el teorema de Pitágoras.