BLOQUE 3: TEOREMA DE PITAGORAS

El teorema de Pitágoras establece que en todo triangulo rectangulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).

Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes $a\,$ y $b\,$ , y la medida de la hipotenusa es $c\,$ , se establece que:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}\,$

De la ecuacion (1) se deducen fácilmente 3 corolarios de aplicación práctica:

$a={\sqrt {c^{2}-b^{2}}}$

$b={\sqrt {c^{2}-a^{2}}}$

$c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

Demostraciones supuestas de Pitágoras

Sea el triángulo ABC, rectángulo en C. El segmento CH es la altura relativa a la hipotenusa, en la que determina los segmentos a’ y b’, proyecciones en ella de los catetos a y b, respectivamente.Se estima que se demostró el teorema mediante semejanza de triángulos: sus lados homólogos son proporcionales.¹

Los triángulos rectángulos ABC, AHC y BHC tienen sus tres bases iguales: todos tienen dos bases en común, y los ángulos agudos son iguales bien por ser comunes, bien por tener sus lados perpendiculares. En consecuencia dichos triángulos son semejantes.

De la semejanza entre ABC y AHC:

y dos triángulos son semejantes si hay dos o más ángulos congruentes.

${\frac {b}{b'}}={\frac {c}{b}}$

$b^{2}\ =\ b'c$

De la semejanza entre ABC y BHC:

${\frac {a}{a'}}={\frac {c}{a}}$

$a^{2}\ =\ a'c$

Los resultados obtenidos son el teorema del cateto. Sumando:

$a^{2}\ +\ b^{2}=a'c\ +\ b'c\ =\ c\left(a'+b'\right)$

Pero $\left(a'+b'\right)=\ c$ , por lo que finalmente resulta:

$a^{2}\ +\ b^{2}=c^{2}$

Los triángulos PQR y PST son semejantes, de manera que:Pitágoras también pudo haber demostrado el teorema basándose en la relación entre las superficies de figuras semejantes.

${\frac {r}{u}}={\frac {s}{v}}=r$

siendo r la razón de semejanza entre dichos triángulos. Si ahora buscamos la relación entre sus superficies:

$S_{{PQR}}\ =\ {\frac {1}{2}}\left(rs\right)$

$S_{{PST}}\ =\ {\frac {1}{2}}\left(uv\right)$

obtenemos después de simplificar que:

${\frac {S_{{PQR}}}{S_{{PST}}}}={\frac {rs}{uv}}={\frac {r}{u}}\cdot {\frac {s}{v}}$

pero siendo ${\frac {r}{u}}={\frac {s}{v}}=r$ la razón de semejanza, está claro que:

${\frac {S_{{PQR}}}{S_{{PST}}}}=\left({\frac {r}{u}}\right)^{2}=\left({\frac {s}{v}}\right)^{2}$

Es decir, "la relación entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza".

Aplicando ese principio a los triángulos rectángulos semejantes ACH y BCH tenemos que:

${\frac {S_{{ACH}}}{S_{{BCH}}}}=\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}$

que de acuerdo con las propiedades de las proporciones nos da:

${\frac {S_{{ACH}}}{b^{2}}}={\frac {S_{{BCH}}}{a^{2}}}={\frac {S_{{ACH}}+S_{{BCH}}}{b^{2}+a^{2}}}$ (I)

y por la semejanza entre los triángulos ACH y ABC resulta que:

${\frac {S_{{ACH}}}{S_{{ABC}}}}=\left({\frac {b}{c}}\right)^{2}$

${\frac {S_{{ACH}}}{b^{2}}}={\frac {S_{{ABC}}}{c^{2}}}$

pero según (I) ${\frac {S_{{ACH}}}{b^{2}}}={\frac {S_{{ACH}}+S_{{BCH}}}{b^{2}+a^{2}}}$ , así que:

${\frac {S_{{ACH}}+S_{{BCH}}}{b^{2}+a^{2}}}={\frac {S_{{ABC}}}{c^{2}}}$

y por lo tanto:

$b^{2}\ +\ a^{2}\ =\ c^{2}$

quedando demostrado el teorema de Pitágoras.

Partiendo de la configuración inicial, con el triángulo rectángulo de lados a, b, c, y los cuadrados correspondientes a catetos e hipotenusa –izquierda-, se construyen dos cuadrados diferentes:Es asimismo posible que Pitágoras hubiera obtenido una demostración gráfica del teorema.

Uno de ellos –centro- está formado por los cuadrados de los catetos, más cuatro triángulos rectángulos iguales al triángulo inicial.
El otro cuadrado –derecha- lo conforman los mismos cuatro triángulos, y el cuadrado de la hipotenusa.

Si a cada uno de estos cuadrados les quitamos los triángulos, evidentemente el área del cuadrado gris ( $c^{2}$ ) equivale a la de los cuadrados amarillo y azul ( $b^{2}+a^{2}$ ), habiéndose demostrado el teorema de Pitágoras.

BLOQUE 3

martes, 11 de febrero de 2014

TEOREMA DE PITAGORAS

Demostraciones supuestas de Pitágoras

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